¿Qué pasaría si el ajedrez siempre hubiera sido un problema matemático?

Un tablero de ajedrez tiene solo 64 casillas y, sin embargo, contiene más partidas posibles que átomos existen en el universo observable. Esa complejidad extraordinaria no es casualidad. Detrás de cada movimiento hay matemáticas. Cada decisión cambia las probabilidades, cada posición expande el árbol del juego y cada punto de puntuación sigue un modelo estadístico. Desde el sistema Elo hasta los motores de ajedrez actuales basados en inteligencia artificial, el juego se ha convertido en una de las aplicaciones reales más fascinantes de las matemáticas.

Esto es lo que hace que las matemáticas del ajedrez sean tan apasionantes. Cada año, el 20 de julio, el mundo celebra el Día Internacional del Ajedrez para conmemorar la fundación de la Federación Internacional de Ajedrez (FIDE) en 1924. Es la oportunidad perfecta para mirar más allá del tablero y descubrir las ecuaciones, los algoritmos y las estadísticas que han dado forma al juego durante siglos.

De la estrategia antigua a las matemáticas modernas del ajedrez

El ajedrez se practica desde hace más de quince siglos. La mayoría de las fuentes historiográficas sitúan sus orígenes en el chaturanga, un juego de estrategia desarrollado en la India antes de extenderse por Persia, el mundo árabe y, finalmente, Europa. Aunque las reglas evolucionaron considerablemente con el tiempo, una característica se mantuvo inalterable: cada decisión dependía por completo de las personas jugadoras.

Durante cientos de años, el ajedrez se estudió a través de la experiencia. Quienes jugaban a nivel de maestría analizaban partidas famosas, memorizaban aperturas y desarrollaban principios posicionales, pero apenas existía un análisis matemático formal.

Eso cambió radicalmente durante el siglo XX. Con la aparición de los ordenadores, la comunidad investigadora empezó a plantearse una pregunta completamente diferente:

¿Podría una máquina aprender a jugar al ajedrez?

Responder a esa pregunta exigió combinar varias ramas de las matemáticas, como la probabilidad, la estadística, la combinatoria, la optimización, la teoría de grafos y, con el tiempo, la inteligencia artificial.

Tres figuras resultaron especialmente influyentes:

Claude Shannon, a menudo considerado el padre de la teoría de la información, publicó el primer artículo científico que describía cómo un ordenador podía jugar al ajedrez. En lugar de buscar todos los movimientos posibles, Shannon propuso evaluar las posiciones matemáticamente y explorar únicamente las continuaciones más prometedoras.

Por la misma época, el trabajo de John von Neumann en la teoría de juegos estableció muchos de los fundamentos matemáticos que se utilizan para estudiar la toma de decisiones estratégicas.

Más tarde, el físico y maestro de ajedrez Arpad Elo introdujo el sistema de puntuación que todavía se utiliza en todo el mundo para calcular la fuerza de quienes juegan al ajedrez.

Juntas, estas ideas transformaron el ajedrez: pasó de ser un juego de mesa a convertirse en uno de los casos de estudio más importantes del mundo en matemáticas, informática e inteligencia artificial.

Por qué el ajedrez es un juego perfecto para las matemáticas

A diferencia del póker o de muchos otros juegos competitivos, en el ajedrez no hay información oculta ni azar. Ambas partes ven exactamente el mismo tablero en cada momento.

Eso convierte al ajedrez en un entorno ideal para el análisis matemático, ya que cada resultado depende por completo de las decisiones que se tomen.

Diversas áreas de las matemáticas aparecen de forma natural a lo largo de cada partida:

• Probabilidad: al estimar el resultado esperado entre dos personas jugadoras.
• Combinatoria: al calcular el enorme número de posiciones y partidas posibles.
• Teoría de grafos: porque cada posición legal conecta con muchas posiciones futuras.
• Estadística: que constituye la base de los sistemas de puntuación como el Elo de ajedrez.
• Optimización: ya que las personas jugadoras buscan constantemente el movimiento más fuerte mientras compiten bajo la presión del tiempo.

Esta combinación explica por qué el ajedrez se ha convertido en uno de los juegos más estudiados por la ciencia. Las reglas son relativamente sencillas y, sin embargo, el número de decisiones posibles crece tan rápido que ni siquiera los ordenadores más veloces de la actualidad pueden analizar todas las continuaciones.

Las elegantes matemáticas del sistema Elo en ajedrez

Uno de los ejemplos más claros de las matemáticas del ajedrez es el sistema de puntuación Elo.

A primera vista, la puntuación Elo parece un simple número que mide el nivel de quien juega. En realidad, representa algo mucho más sofisticado: la probabilidad de que una persona jugadora puntúe contra otra.

Desarrollado por Arpad Elo en la década de 1960, el sistema asume que cada persona tiene un nivel de rendimiento en su juego. En lugar de limitarse a premiar las victorias, compara el resultado real con el que se esperaba estadísticamente.

Si Magnus Carlsen, considerado una de las figuras más brillantes de la historia del ajedrez, derrota a alguien que está empezando, casi nada cambia porque el resultado ya era muy probable.

Sin embargo, si una persona con un nivel muy inferior derrota a alguien con el título de gran maestro, el resultado es sorprendente, por lo que ambas puntuaciones cambian de forma significativa.

La probabilidad de que la persona jugadora $A$ puntúe contra la persona jugadora $B$ se calcula mediante la siguiente ecuación:

donde:

• R_A es la puntuación de la persona jugadora A.
• R_B es la puntuación de la persona jugadora B.
• E_A es la puntuación esperada para la persona jugadora A.

The equation produces probabilities rather than predictions.

Por ejemplo:

Diferencia de puntuación	Puntuación esperada
0 puntos	50%
100 puntos	64%
200 puntos	76%
400 puntos	91%

Como se puede observar, la fuerza de quien juega no es lineal.

Una persona con una puntuación de 2400 no es «el doble de fuerte» que alguien con 1200. En su lugar, la fórmula predice con qué frecuencia debería puntuar cada una a lo largo de muchas partidas.

Después de cada partida, ambas puntuaciones se actualizan mediante otra elegante ecuación:

donde:

• R_antigua es la puntuación actual de la persona jugadora.
• R_nueva es la puntuación actualizada.
• S es la puntuación real obtenida.
• E es la puntuación esperada.
• K es el coeficiente de desarrollo, que determina la rapidez con la que cambian las puntuaciones.

Este equilibrio entre las expectativas y la realidad es lo que hace que el Elo de ajedrez sea extraordinariamente preciso. Más de sesenta años después de su implantación, los mismos principios matemáticos se siguen utilizando no solo en el ajedrez, sino también en los deportes electrónicos, los videojuegos en línea, los sistemas de clasificación y muchos otros entornos competitivos.

A la hora de presentar ecuaciones como estas en materiales didácticos, la claridad es esencial. MathType, el editor de ecuaciones de Wiris, permite al profesorado, al alumnado y al personal investigador escribir notación matemática de calidad profesional en documentos, presentaciones, plataformas de aprendizaje y evaluaciones digitales, haciendo que las fórmulas complejas sean más fáciles de leer y comprender.

Hay más partidas de ajedrez que átomos en el universo

La belleza matemática del ajedrez va mucho más allá de los sistemas de puntuación. De hecho, una de las razones por las que el ajedrez sigue fascinando a la comunidad científica es la inmensidad de su espacio de búsqueda.

Al principio de una partida, las blancas disponen de 20 movimientos legales. Las negras tienen entonces 20 respuestas posibles, lo que crea 400 posiciones diferentes tras un solo movimiento de cada bando. A partir de ahí, el número de posibilidades crece de forma explosiva. Tras unos pocos turnos, resulta imposible para cualquier mente humana, o incluso para cualquier ordenador, examinar cada continuación.

Este fenómeno se conoce como explosión combinatoria, y el ajedrez es uno de sus ejemplos más famosos.

En 1950, Claude Shannon intentó calcular el tamaño real del árbol del juego. Llegó a la conclusión de que el número total de partidas de ajedrez posibles es de aproximadamente:

10¹²⁰

Hoy en día, esta estimación se conoce como el número de Shannon.

Es casi imposible asimilar un número tan grande, por lo que ayuda compararlo con algo más familiar. La física estima que el universo observable contiene alrededor de10⁸⁰ átomos.

En otras palabras, hay muchísimas más partidas de ajedrez posibles que átomos en el universo observable.

Esa comparación es asombrosa. Un juego que se desarrolla en un tablero de tan solo 64 casillas produce más partidas posibles que partículas físicas existen en el cosmos.

Sin embargo, es importante distinguir entre dos conceptos diferentes:

• Se calcula que existen unas10⁴³ posiciones legales en el tablero.
• Se pueden jugar unas10¹²⁰ partidas diferentes.

A menudo se puede llegar a la misma posición a través de muchos órdenes de movimientos distintos.

Esta distinción explica por qué el ajedrez sigue sin estar resuelto. Incluso si pudiéramos almacenar cada posición legal, explorar cada partida posible seguiría siendo computacionalmente imposible.

Por qué AlphaZero cambió nuestra forma de entender el ajedrez

Durante décadas, los motores de ajedrez más potentes se basaron en la misma estrategia general: calcular el mayor número posible de posiciones.

Programas como Stockfish analizan millones de posiciones por segundo, utilizando funciones de evaluación cuidadosamente diseñadas para estimar qué posiciones son mejores. Cuantas más posiciones analizan, más fuertes se vuelven.

Entonces, en 2017, AlphaZero adoptó un enfoque radicalmente distinto.

Developed by Google DeepMind, AlphaZero fue el uso de la búsqueda de árbol de Montecarlo (MCTS, por sus siglas en inglés).

A partir de ahí, jugó millones de partidas contra sí mismo.

Con cada partida, su red neuronal ajustaba sus parámetros internos, aprendiendo gradualmente qué tipos de posiciones solían conducir a la victoria. En lugar de memorizar la teoría del ajedrez, descubrió conceptos estratégicos por sí mismo a través de la experiencia.

Este enfoque combina varias áreas de las matemáticas, entre ellas:

• Probabilidad
• Optimización
• Búsqueda en grafos
• Álgebra lineal
• Aprendizaje automático (machine learning)

Una de las innovaciones más importantes de AlphaZero fue el uso de la búsqueda de árbol de Montecarlo (MCTS, por sus siglas en inglés).

En lugar de explorar todas las continuaciones posibles por igual, el MCTS estima qué ramas del árbol de juego son las más prometedoras. Para ello, equilibra dos objetivos contrapuestos:

• Exploración: probar movimientos que no se han estudiado demasiado.
• Explotación: dedicar más tiempo a analizar movimientos que ya parecen fuertes.

Este equilibrio permite a AlphaZero concentrar su esfuerzo informático donde resulta más valioso.

El resultado es extraordinario. Mientras que los motores tradicionales como Stockfish pueden evaluar decenas de millones de posiciones por segundo, AlphaZero evalúa solo una pequeña fracción de esa cifra. Sin embargo, a menudo toma decisiones igual de fuertes, o incluso más, porque busca de forma más inteligente en lugar de más exhaustiva.

Esta es quizás la lección más importante de las matemáticas del ajedrez: el éxito no siempre consiste en calcularlo todo, sino en identificar qué cálculos son los que más importan.

Por qué el ajedrez sigue siendo una de las mejores aulas STEM

Más allá de la competición, el ajedrez se ha convertido en una potente herramienta educativa. Introduce al alumnado en conceptos fundamentales de matemáticas, informática y razonamiento lógico a través de una actividad familiar y atractiva.

Una sola partida puede ilustrar la probabilidad mediante el Elo, el crecimiento exponencial a través del árbol del juego y el pensamiento algorítmico gracias a los motores de ajedrez. Conceptos que pueden parecer abstractos en un aula tradicional resultan mucho más fáciles de asimilar cuando se aplican a posiciones reales sobre el tablero.

Esta es una de las razones por las que el Día Internacional del Ajedrez es algo más que una celebración del juego. También es una oportunidad para que el personal docente muestre cómo las matemáticas ayudan a explicar la estrategia, la toma de decisiones y la resolución de problemas en un contexto significativo.

Cada movimiento cuenta una historia matemática

Cada año, el 20 de julio, el Día Internacional del Ajedrez rinde homenaje a un juego que ha inspirado a quienes juegan, investigan y enseñan durante siglos. Detrás de cada movimiento se esconde un mundo matemático, desde los modelos probabilísticos del Elo hasta la enorme complejidad del árbol del juego y los algoritmos que impulsan los motores de ajedrez modernos.

Tanto si juegas de forma casual como si te dedicas a la enseñanza de las materias STEM, el ajedrez demuestra cómo el pensamiento matemático puede explicar la estrategia, la toma de decisiones y la inteligencia artificial.