El dilema del prisionero explicado: cómo las matemáticas predicen las decisiones humanas

Por qué el dilema del prisionero aún nos sorprende

El dilema del prisionero es uno de los problemas más famosos de la teoría de juegos, que ilustra cómo la toma de decisiones racionales puede conducir a resultados inesperados y, a menudo, subóptimos. A primera vista, la elección parece sencilla (guardar silencio o traicionar), pero cuando entran en juego las matemáticas, la elección óptima deja de ser tan obvia. Este problema no solo tiene profundas raíces matemáticas, sino que también arroja luz sobre el comportamiento humano cuando están en juego la confianza, el riesgo y el beneficio personal.

El dilema del prisionero clásico: reglas, recompensas y la gran pregunta

Imagina este escenario:

Dos amigos son arrestados bajo sospecha de haber cometido un delito juntos. No hay pruebas suficientes para condenarlos por el delito principal, pero la policía tiene suficientes para condenarlos por un delito menor. Se les coloca en habitaciones separadas, sin posibilidad de hablar entre ellos.

A cada uno se le ofrece el mismo trato:

• Si traicionas a tu amigo y testificas en su contra mientras él permanece en silencio, tú quedas libre y él recibe 10 años de prisión.
• Si os traicionáis mutuamente, cada uno recibirá 5 años de prisión.
• Si ambos guardáis silencio, la policía solo podrá condenarlos por el delito menor y cada uno cumplirá 1 año.

Aquí está el problema: la elección debe hacerse sin saber qué hará el otro. Sin mensajes, sin pistas, sin lenguaje corporal: solo tu decisión contra la suya.

Esta situación captura la esencia del dilema del prisionero: una situación en la que la elección que parece más segura para ti individualmente puede conducir a un resultado peor para ambos.

Matemáticamente, la situación se representa en una matriz de pagos, que muestra todas las combinaciones posibles de decisiones y sus resultados. Los números indican el número de años de prisión:

/Matrix/

Cómo leer esta tabla:

• Cada celda muestra (años de prisión para A, años de prisión para B).
• Ejemplo: si A permanece en silencio y B traiciona, A pasa 10 años en prisión y B queda libre.
• El mejor resultado colectivo es (1, 1), pero la tentación de conseguir (0, 10) o (10, 0) a menudo conduce a (5, 5).

Nota: En la teoría de juegos, esta misma matriz también se puede mostrar con valores negativos para tratar los años de prisión como «pérdidas» y trabajar con la maximización de la recompensa.

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Perspectivas de la teoría de juegos: por qué los jugadores racionales suelen traicionar

Desde la perspectiva de la teoría de juegos, el dilema del prisionero es un ejemplo clásico de juego no cooperativo en el que los incentivos individuales chocan con el beneficio colectivo. El concepto clave aquí es el equilibrio de Nash: un estado en el que ningún jugador puede mejorar su propio resultado cambiando su decisión, suponiendo que la elección del otro jugador siga siendo la misma.

Analicémoslo:

• Si el prisionero A asume que el prisionero B permanecerá en silencio, la mejor jugada para A es traicionar, porque quedar libre (0 años) es mejor que cumplir 1 año.
• Si el prisionero A asume que el prisionero B traicionará, la mejor jugada para A también es traicionar, porque 5 años siguen siendo mejores que 10.

La misma lógica se aplica simétricamente al prisionero B. Esto hace que la traición sea la estrategia dominante: ofrece un mejor resultado individual independientemente de la elección del otro jugador.

Paradójicamente, cuando ambos jugadores siguen esta estrategia «racional», obtienen un resultado peor (5 años cada uno) que si hubieran cooperado (1 año cada uno). Este resultado es un ejemplo clásico de cómo el interés propio a corto plazo puede perjudicar a todos a largo plazo.

Psicológicamente, esto se alinea con la aversión al riesgo:

• El miedo a ser el «perdedor» (cumplir 10 años mientras el otro queda libre) supera el beneficio potencial de la cooperación mutua.
• Sin confianza ni comunicación, la traición parece la jugada defensiva más segura.

Esta tensión entre la racionalidad individual y la optimización colectiva es lo que hace que el dilema del prisionero sea tan poderoso y por qué sigue apareciendo en la economía, la política y la vida cotidiana.

Las matemáticas detrás del dilema: de las matrices de pago a las ecuaciones

Más allá de la narrativa, el dilema del prisionero puede expresarse con precisión matemática, lo que nos permite analizar las decisiones de forma sistemática. En la teoría de juegos, el resultado de la elección de cada jugador puede describirse mediante una función de pago. Aquí, la función para el prisionero A, Pa(x,y), devuelve los años de prisión para A, dada su elección x y la elección y del prisionero B. Del mismo modo, Pb(x,y) hace lo mismo para B. Si dejamos que S represente «permanecer en silencio» y B represente «traicionar», el modelo se convierte en:

P_A(S,S) = 1, P_A(S,B) = 10, P_A(B,S) = 0, P_A(B,B) = 5, 

P_B(S,S) = 1, P_B(S,B) = 0, P_B(B,S) = 10, P_B(B,B) = 5, 

Estas ecuaciones resumen el dilema: cada jugador se enfrenta a una tentadora elección que le beneficia a corto plazo, pero que puede conducir a peores resultados si ambos actúan de la misma manera. Escribir el problema en esta forma funcional permite a los matemáticos y a los estudiantes explorar estrategias, identificar equilibrios como el equilibrio de Nash e incluso simular juegos repetidos para observar cómo evoluciona la cooperación o la traición a lo largo del tiempo. Una herramienta útil para producir estas ecuaciones de forma clara es MathType, un editor de ecuaciones profesional desarrollado por Wiris. MathType es compatible con LaTeX, MathML y se integra con Word, Google Docs, Moodle y otras plataformas LMS, lo que lo hace ideal para crear notaciones matemáticas limpias y compartibles para escenarios como el dilema del prisionero. Con MathType, resulta sencillo presentar estas funciones, ajustar los valores y comprobar visualmente cómo pequeños cambios en la configuración del juego pueden alterar las decisiones de los jugadores.

Variaciones que cambian el juego. Iteraciones, confianza y estrategia

Pequeños cambios en el dilema del prisionero pueden transformar su resultado. En el clásico juego de una sola partida, predomina la traición, pero en las versiones iteradas, en las que los jugadores se enfrentan al dilema repetidamente, puede surgir la cooperación. Estrategias como “Tit-for-Tat” (empezar cooperando y luego copiar el último movimiento del oponente) suelen superar a los enfoques agresivos, ya que recompensan la confianza y castigan la traición.

Permitir la comunicación o introducir un historial compartido aumenta las tasas de cooperación, lo que refleja cómo la reputación influye en las decisiones en la vida real. Cambiar las recompensas —por ejemplo, hacer que un prisionero se arriesgue a pasar más años en prisión que el otro— o añadir varios jugadores crea nuevas dinámicas similares a los problemas de los bienes públicos. En todas estas variaciones, las matemáticas siguen siendo las mismas, pero la psicología y la estrategia cambian, lo que a menudo convierte la traición predecible en una cooperación sostenible.

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De las celdas de prisión a las salas de juntas: aplicaciones en el mundo real

El dilema del prisionero no es solo un concepto matemático fascinante: es una lente para comprender la toma de decisiones en contextos del mundo real. Desde la competencia en el mercado hasta la política global, desde la cooperación animal hasta las disputas vecinales, la misma tensión entre el interés individual y el beneficio colectivo sigue reapareciendo. Lo que lo hace tan poderoso es su capacidad para explicar por qué los actores racionales a menudo eligen opciones que empeoran la situación de todos.

• En economía, el dilema del prisionero surge cuando las empresas deciden si cooperar o competir agresivamente. Un caso clásico es la guerra de precios: si ambas empresas mantienen los precios altos, obtienen beneficios considerables. Sin embargo, la tentación de bajar los precios para captar más cuota de mercado puede llevar a ambas empresas a reducir los precios, lo que en última instancia reduce los beneficios de todos. Una dinámica similar se da en los acuerdos de cártel, las batallas publicitarias y las empresas conjuntas, donde la moderación mutua produciría mejores rendimientos.
• En política, el dilema se plantea a menudo en la escena internacional. Los acuerdos sobre el cambio climático son un buen ejemplo: todas las naciones se benefician de la reducción de las emisiones globales, pero cada una tiene un incentivo para dejar que otras asuman el coste mientras ellas continúan con sus actividades de alta emisión. 
• En biología, la teoría de juegos evolutiva utiliza el dilema del prisionero para modelar la cooperación en la naturaleza. Los depredadores que cazan en manada, las aves que comparten tareas de vigilancia o las especies que mantienen relaciones mutualistas se enfrentan a la misma tentación de aprovecharse de los esfuerzos de los demás. Cuando demasiados individuos desertan, la cooperación se derrumba, lo que reduce las posibilidades de supervivencia de todos.
• Incluso en la vida cotidiana, la estructura del dilema es fácil de detectar. Los vecinos que deciden si contribuir al mantenimiento de los espacios comunes, los compañeros de trabajo que debaten si compartir el mérito de un proyecto o los miembros de comunidades online que eligen si moderar los comportamientos dañinos se enfrentan a la misma elección: actuar en beneficio del grupo o centrarse únicamente en el beneficio personal. La confianza y el pensamiento a largo plazo son a menudo lo que marca la diferencia entre el beneficio mutuo y la pérdida mutua.

Cooperación, matemáticas y tu turno para jugar al dilema del prisionero

Aunque el dilema del prisionero sugiere que los jugadores racionales traicionarán, los seres humanos suelen cooperar, especialmente cuando están en juego la confianza, la historia compartida o las interacciones futuras. Las normas sociales, la empatía y la reputación pueden pesar más que las ganancias a corto plazo y, en juegos repetidos, la cooperación suele convertirse en la jugada ganadora.

Ahora es tu turno: abre MathType y diseña tu propio dilema del prisionero. Cambia las recompensas: ¿qué pasaría si la traición conllevara penas más severas o si la cooperación obtuviera recompensas adicionales? Observa cómo cambia la elección «racional» y descubre si tu versión favorece la confianza o la estrategia astuta. El juego es tuyo: juega con inteligencia.