Actividad 2
La calculadora Wiris
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   Exercicis
 
Variables y funciones. Gráficas de funciones. Ecuaciones y sistemas
  

La calculadora Wiris incorpora las máximas facilidades (seguramente pensaréis "¡como era de esperar!") para trabajar con variables de memoria y también permite definir funciones de usuario con las mismas posibilidades que las que ya incorpora el programa.

En esta actividad se comenta brevemente este hecho para pasar rápidamente a trabajar con funciones y tener el primer contacto con la Wiris como calculadora gráfica. Presentaremos el tablero grafico y veremos cuán fácil es obtener gráficas de funciones.

  
 Uso de variables y definición de funciones
  
 

En un diccionario encontramos esta definición:

variable. f. En programación, posición de memoria identificada con un nombre, que puede variar de contenido en la ejecución de un programa informático.

En la Wiris se pueden definir variables con esta finalidad y, además, se pueden construir funciones propias que utilicen estas variables.

  • En principio, para dar valores a las variables hay que usar el símbolo .
  • Ahora bien, si se quieren dar a una variable valores que se actualicen cuando se modifiquen los elementos usados en la definición hay que usar el signo . Esta distinción se entenderá mejor con ejemplos y, sobre todo, cuando se hable de gràficos interactivos.

Sin equivocarnos demasiado se puede decir que los nombres de variables y funciones (los llamados identificadores) pueden ser los que queramos y tan largos como nos convenga pero, esto sí, sin espacios en blanco. Podéis leer todas las precisiones en una ventana auxiliar Ampliació.

Todas las calculadoras tienen muchas funciones incorporadas. También la Wiris, ¡naturalmente! Además, como ya se ha indicado, se pueden incorporar nuevas funciones.

  • Para definir una función que nos interese en el contexto de un problema hay que utilizar el signo . Por ejemplo, si F es el nombre que queremos dar a una función escribiremos:

    F(argumentos) := operaciones que hay que hacer con los argumentos

  • Los argumentos de una función pueden ser objetos cualesquiera de la Wiris (naturalmente números o variables numéricas pero también listas, objetos geométricos, otras funciones...)
  • Podéis ver, como ampliación,

En la pantalla siguiente se presentan algunos ejemplos sobre el uso de variables y la definición de funciones que con toda seguridad interpretaréis correcatmente. Conviene comentar que:.

  • Un ; al final de una línea hace que la Wiris no escriba "la respuesta" en esta línea. El mismo signo ; sirve para encadenar comandos (por ejemplo asignaciones de valores a variables) en una misma línea.
  • Habitualmente los valores de las variables no pasan de un problema o bloque de comandos a otro. Exactamente lo mismo ocurre para las funciones definidas como propias.
  • Ahora bien existe la posibilidad de definir librerías en una ventana activa. En una librería se pueden definir variables o funciones, e incluso procedimientos, que se aplicaran a todos los problemas o bloques de comandos que se abran en aquella sesión de trabajo.

  
 Representación gráfica de funciones: dibujar y representar
  
 
 
El tablero gráfico de la Wiris con la gráfica de una función
  
 

La calculadora Wiris, permite dibujar gráficas de funcionas mediante unas intsrucciones muy sencillas.

  • Activar la calculadora Engega la Wiris y escribir:      

    Clicar sobre el icono de la flecha y se abrirá un tablero gráfico con la gráfica de la función. No es exactamente igual que la que muestra la imagen anterior... pero ¡muy pronto lo será!.

Veréis que en la parte superior del tablero gráfico aparecen unos botones. Si os interesa una descripción detallada podéis consultarla Ampliació, pero en el taller seguramente será mejor experimentar y preguntar.

  
 Pasamos enseguida a ver más posibilidades del comando dibujar.
  • Modificar lo que teníamos para que diga

    y ya tenemos el gráfico reproducido más arriba.

  • También es posible ordenar dos dibujos a la vez. La sintaxis es ésta:  

  • Cuando se indica que se dibujen varios objetos con el mismo comando (en el caso anterior, dos gráficas de funciones) los atributos de dibujo seran comunes. Si queremos que sean distintos... ¡hay que distinguir!

Seguro que queréis hacer más pruebas. ¡Ánimo!

La estructura general del comando dibujar es la siguiente:
       

    • La primera lista que se pasa como argumento debe incluir los objetos que queremos dibujar. En caso que sea un objeto único se pueden omitir las { }
    • La segunda lista que se pasa es optativa y detallas las opciones de dibujo para los objetos que aparecen en el comando. Si se quiere dibujar con los atributos por defecto (color negro, por ejemplo) no hay que poner nada; si se indica algún atributo, aunque sea solo uno, hay que indicarlo entre { }
 

Para obtener la gráfica de una función podemos escribir directamente su expresión matemática (que no hace falta que sea función de la variable x), o tener definida la función o tenerla como una expresión formal. ¡Podéis practicar!

             

  
 

Conviene saber que la Wiris reconoce el símbolo f ' (con el apóstrofe, no con el acento) para la función derivada de f; f '' (con dos apóstrofes, no con las comillas) para la segunda derivada, etc. Probar esto:

            

  
 Ahora bien, la Wiris tiene otro comando que permite un estudio analítico muy detallado de las funciones. Se trata de representar.
  
 
  • El comando dibujar realiza una representación de la función punto a punto, sin ningún estudio previo. En cambio el comando representar nos presenta lo que los autores llaman«una representación astuta» (también podríamos decir «una representación como la que se pide a los alumnos en la selectividad»), a saber, una representación que visualice todos los elementos que se recomiendan como esenciales para hacer un esbozo de la gráfica: elección de graduaciones adecuadas para los ejes, puntos singulares (máxims relativos, mínimos relativos y puntos singulares que también son puntos de inflexión), cortes con los ejes, asíntotas, etc.
    • Para algunas funciones "complicadas" el comando representar no actua y la Wiris aplica directamente el procedimiento dibujar.

¡Practicar en la ventana activa siguiente y observar!

 



                             

 
¿Habéis conseguido ver toda esta información en el último ejemplo propuesto?
  
 

Daros cuenta de las denominaciones con las que se reconocen los elementos destacados. Queremos constatar dos "curiosidades".

  • En los puntos que a menudo se llaman "puntos de inflexión con tangente horizontal" (y que unos pocos autores llaman "puntos de silla") los autores de la Wiris han querido poner de manifiesto primordialmente su carácter conceptualmente más importante: se trata de puntos singulares que además son de inflexión.

  • En las curvas con asíntotas verticales los autores de la Wiris forman parte del grupo de autores al que también pertenecemos que opinan que "la asíntota vertical rompe la gráfica como si se tratase de diversas curvas" (cabría añadir: que estan definidas en intervalos diferentes y cuyas gráficas, además, no empalman una con otra).
  
 Resolución de ecuaciones y sistemas con la Wiris
  
 
 
Botones para los comandos que se comentan en esta actividad
  
 

En la barra de herramientas tenemos dos botones útiles para escribir los comandos que hemos comentado en el apartado anterior, dibujar(  ) y representar(  ) y, a su lado, observamos dos nuevos botones que corresponden al comando resolver(  ) y que, aunque el comando va a ser el mismo, ya nos preparan el terreno para una aplicación fácil sea para la resolución de ecuaciones sea para la de sistemas de ecuaciones.

Acceder a una pantalla activa de la Wiris y clicar primero sobre uno y después sobre el otro. En la "foto" de la pantalla que veréis hemos añadido un comentario muy importante.

Os proponemos algunas ecuaciones para observar los distintos tipos de respuesta.
(son muy parecidas; podéis "cortar y pegar" y luego modificar)

        

Algunas observaciones:

  • Si queréis escribir el comando resolver "a mano" no olvidéis que el signo de igual debe ser el que corresponde a una igualdad condicionada: igual largo (se puede hacer con dos iguales, ==, o con Ctrl+= o bien con el botón de la carpeta ).
  • Podemos escribir una expresión matemática en el comando resolver. Entonces se resuelve la ecuación que resulta de igualar a cero esta expresión
  • Las soluciones que nos da el comando resolver son las soluciones reales de la ecuación
  • Ahora bien, para ecuaciones polinómicas disponemos del comando raíces que nos permite decidir si queremos las raíces reales o en el cuerpo de los números complejos.
  • En el caso que no exista un método estándard para encontrar la solución "exacta" de una ecuación (podemos añadir el comentario: aunque "a ojo" veamos que la tiene, por ejemplo) hay que saber que disponemos del comando resolver_numéricamente que busca una solución aproximada. Este comando se comenta brevemente en un párrafo de ampliación al final de la actividad junto con una interpretación gráfica.
  • El comando resolver también se puede aplicar en el caso de ecuaciones con varias variables. Hay que indicar cuál es l avariable que queremos despejar. Dos ejemplos:

Observar la imagen siguiente que ofrece una explicación previa a la aplicación del comando resolver para sistemas de ecuaciones, que se deben escribir como una lista vertical.

Algunos comentarios:

  • Aquellos que ya se han hecho para las ecuaciones se adaptan también a los sistemas.
  • Para los sistemas de ecuaciones lineales la Wiris incluye la posibilidad de la presentación matricial que, sin embargo, "no cabe" en el tiempo destinado a este taller.
  • El comando resolver_numéricamente también se puede aplicar a sistemas de ecuaciones

Para acabar, unos ejemplos.

  
 
Amunt
  
 Un enlace a una actividad con la Wiris
  
 

El icono Ampliació os permitirá enlazar con una unidad didáctica: Estudio gráfico de las funciones elementales. La autora es Misericòrdia Nomen y esta unidad fue premiada en el concurso de 2002 del Departament d'Educació de la Generalitat de Catalunya.

  
Unas ideas de ampliación
  
 
  • Sobre la definición de funciones Ampliació
 
  • Sobre el comando resolver_numéricamente( )Ampliació
 
Amunt